G-torsore

In matematica, un ${\displaystyle G}$-torsore (anche detto spazio omogeneo principale), fissato un gruppo ${\displaystyle G}$, è un G-insieme ${\displaystyle X}$ sul quale ${\displaystyle G}$ agisce liberamente e transitivamente. In questa definizione concreta, sia ${\displaystyle G}$ che ${\displaystyle X}$ appartengono alla categoria degli insiemi e in quanto oggetti di questa sono dunque insiemi.

In termini più astratti, e nel linguaggio delle categorie e dei funtori, un ${\displaystyle G}$-torsore è un oggetto ${\displaystyle X}$ in una categoria ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ su cui agisce un oggetto gruppo ${\displaystyle G}$, appartenente alla stessa categoria ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, in modo semplicemente transitivo. Se ad esempio ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ è la categoria degli insiemi allora X è un qualunque insieme e G è un gruppo. Se invece ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ è la categoria degli schemi definiti sopra ${\displaystyle \mathrm {Spec} K}$ (ove ${\displaystyle K}$ è un campo) allora ${\displaystyle X}$ è un ${\displaystyle K}$-schema e ${\displaystyle G}$ un ${\displaystyle K}$-schema in gruppi. La definizione può essere generalizzata.

Bibliografia

• (EN) A. Skorobogatov, Torsors and rational points, Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-80237-7.